| Indice del artículo |
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| Comparación entre métodos de integración numérica |
| Comparación entre el método de Euler y el trapezoidal |
| Comparativa práctica Euler-Trapecio con ANALOGIA.EXE |
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Como se ha dicho, ANALOGIA.EXE utiliza el algoritmo trapezoidal (implícito tipo A, rígidamente estable). Para llegar a esa decisión se han de evaluar una serie de características. Por ejemplo dado que muchos circuitos electrónicos son del tipo rígido, el método de integración numérica debe ser rígidamente estable. Este requisito elimina la mayoría de los métodos explícitos.
La elección de un algoritmo de integración en concreto es, en cierta medida, una tarea empírica. Un parámetro de calidad para los diferentes algoritmos es el número de pasos que se requieren para un cierto margen de ELT.
Bajo el punto de vista de la estabilidad, el método implícito de Euler, el del trapecio y el Gear-2 son estables tipo A. Todos los de Gear son rígidamente estables.
De los métodos disponibles el del trapecio y el Gear-2 son los más atractivos en cuanto a precisión y facilidad de cálculo. Especialmente el trapezoidal (mejor con control de salto por ELT) produce muy buenos resultados en cuanto a exactitud y esfuerzo de cálculo, y es muy usado en los programas de simulación (Spice, por ejemplo).
Durante el desarrollo de este proyecto, la primera versión (que dio muy malos resultados) realizaba el análisis en frecuencia utilizando técnicas de análisis AC. La segunda versión hacía uso del algoritmo implícito de Euler, y la definitiva, del algoritmo del trapecio. Vamos a ver pues numéricamente y gráficamente (de forma práctica) las diferencias entre estos dos algoritmos y la superioridad del trapezoidal.
Sea el circuito:
que usaremos para las mediciones de exactitud y estabilidad, y donde Vr es la variable de interés.
Utilizando las aproximaciones a un condensador, ya estudiadas para cada algoritmo, obtenemos:
Euler Explícito: 
Euler Implícito: 
Trapezoidal: 
Se cumple en cualquier instante que: 
sustituyendo en las anteriores ecuaciones nos queda:
Euler Explícito: 
Euler Implícito: 
Trapezoidal: 
Sustituyendo RC por t, podemos escribir estas ecuaciones para producir relaciones iterativas:
Euler Explícito: 
Euler Implícito: 
Trapezoidal: 
Si se aplica una excitación en escalón de tensión E0, el valor inicial de Vr es Vr(0)=E0. Aplicando las ecuaciones anteriores n veces (con los incrementos siempre iguales), nos quedará:
Euler Explícito: 
Euler Implícito: 
Trapezoidal: 
La solución exacta para este circuito, sabemos que es:
y para t=n
Podemos ahora calcular las expresiones aproximadas y comparar con el valor exacto para ver cual produce mejores resultados. Si tomamos dos incrementos de ejemplo =0.1
y =, resulta:
| Salto | Exp.Euler
| Imp.Euler
| Trapecio
| Exacto
|
|---|---|---|---|---|
=0.1 | 0.90000 | 0.90909 | 0.90476 | 0.90483 |
| = | 0.0 | 0.5 | 0.333 | 0.368 |
Como vemos, para ambos incrementos el método del trapecio produce una mejor aproximación. La estabilidad de los métodos puede estimarse de forma aproximada buscando para qué valores de
la solución empieza a oscilar:
| Salto | Exp.Euler
| Imp.Euler
| Trapecio
|
|---|---|---|---|
| Estable para: | 0< | 0< | 0<<2 |
Para grande:  |  Divergente y oscilante |  Estable |  Estable pero oscilante |
Vemos que el método implícito de Euler y el del trapecio son estables, aunque el último presenta oscilaciones para >2 que se pueden eliminar disminuyendo el salto interno.
En construcción.
