Como vimos ya, el ELT (error local de truncamiento) de un método de integración es la diferencia entre 
y el valor exacto en 
, supuesto que las soluciones pasadas son exactas. Por tanto, el error de 
depende del ELT en todos los intervalos (t1, t2, ... tn).
Si un método de integración es estable, la contribución del ELT en un punto 
al error total en 
(n>k) debe decrecer conforme n aumenta. Recíprocamente, la contribución del ELT en aumentará constantemente si el algoritmo es inestable. La estabilidad de un método de integración numérica implica sólo que si se generan soluciones parásitas éstas no crecerán con el tiempo. Se garantiza así que si el tiempo se hace tender a infinito, la solución calculada converge a la exacta.
Sea la ecuación: x'=
x
cuya solución exacta es 
donde 
es la solución para t=0. La resolución de la ecuación por el método explícito de Euler produce:
y siendo 
constante: 
Análogamente, por el método implícito de Euler la solución de la ecuación es:
y siendo constante: 
En el algoritmo del trapecio, la solución de la ecuación es:
y siendo constante: 
Notemos que si es real y positivo, la solución de es inestable en el sentido de que x crecerá sin límite. Si es negativo y real, x tiende a cero para tiempos grandes.
En general será complejo, y la estabilidad de un método de integración se estudiará en el plano complejo h. Las regiones de estabilidad para los métodos citados serán:
| Método de integración | Región de estabilidad |
|---|---|
| Explícito de Euler | |1+h| <= 1 |
| Implícito de Euler | |1-h| >= 1 |
| Trapezoidal | Re[h] <= 0 |
De forma que podemos ver gráficamente las regiones de estabilidad para cada método de integración:
En el método del trapecio (usado por ANALOGIA.EXE) la región de estabilidad corresponde a todo el semiplano izquierdo (parte real de delta negativo). Esto quiere decir que este algoritmo es estable si la solución exacta es estable, y es inestable si la solución exacta es inestable. Es característica la forma en que el algoritmo trapezoidal:
tiende a cero según n aumenta. Si |h|>2 el numerador es negativo. En este caso será positivo para valores pares de n, y será negativo para valores impares de n. Es decir, la solución oscilará alrededor del valor correcto, y la oscilación será más pequeña cuanto más pequeño sea el ELT.
Otro concepto importante es el de "estabilidad tipo-A": un algoritmo de integración es A-estable si la región de estabilidad incluye el semiplano izquierdo del plano |h|, de forma que tal como pasaba en el algoritmo del trapecio, la solución será estable si la solución exacta es estable para cualquier valor de h. También se define "estabilidad rígida" como aquella que presenta un algoritmo que produce valores estables cuando h tiende a infinito. Todo método estable tipo A es también rígidamente estable.
