En un grafo se verifica que si n es el número de nudos, a el número de ramas de árbol, b el de ramas del grafo y e el de eslabones:
El número mínimo de variables independientes tomando la variable como corriente será igual al número de eslabones, es decir r-n+1.a=n-1
l=r-a=r-n+1
El número mínimo de variables independientes tomando la variable como tensión será igual al número de ramas del árbol, es decir, el número de nudos menos uno.
Los lemas de Kirchoff se pueden escribir en forma matricial como:
Donde [Ir] y [Vr] son matrices columna de r filas. [A] y [B] tienen por dimensiones r*a y r*1 respectivamente, y sus elementos sólo son +1, -1 y 0. Además se demuestra que:
La utilización del concepto de árbol lleva a clasificar las corrientes y tensiones en: las a pertenecientes a ramas de un árbol y l de enlace. Las corrientes de las ramas del árbol se pueden escribir como función de las corrientes de los enlaces (n-1 ecuaciones), y las tensiones entre los extremos de una rama de enlace se pueden escribir en función de las tensiones en las ramas del árbol (r-n+1 ecuaciones). Por tanto el sistema A se puede escribir ahora como:
Donde 
, 
son matrices unidad de dimensiones (n-1)*(n-1) y (r-n+1)*(r-n+1) respectivamente; Ia, I1, V1, Va son submatrices de [Ir] y [Vr] que contienen corrientes y tensiones de árbol o de ramas de enlace. F tiene por dimensiones a*1.
- Al aplicar:
obtenemos que: 
Con lo cual, a partir del sistema B se llega a:
la forma matricial de las r ecuaciones de Kirchoff.
